егэ

  Zhenek написал 11.06.2013 в 06:11:

  Цитата

GodLike!' timestamp='1370924039' post='10927902']

  Zhenek написал 10.06.2013 в 16:01:

  marko_o написал 09.06.2013 в 22:43:

никому такое цэ5 не попадалось на егэ?

сложненькая задачка на первый взгляд. Кину пару идей которые мне пришли в голову. Сразу говорю, последний раз решал такого рода задачи года 4 назад поэтому если чё напутал, сори.

Левая часть - парабалоид с точкой минимума (0,5 ; (a^2+3/4)^2). Также это единственная точка минимума посему и парабалоид (2я производная всегда больше 0, 1я = 0 только в x=1/2). Правая же часть - парабалоид, опять же с усами, торчащими вверх, только начинается в вершине с координатами (0,5 ; 3,8*a^2). А вот чё с этим делать дальше я и сам чё-то не могу понять. Пытаюсь нарисовать с 3мя решениями но чё-то нихуя не выходит с 2мя-то параболами ... Уж очень хочется сказать, что ни при каких, но чё-то кажется, что не докажу ппц. Попробую подумать подольше.

 

  Показать содержимое

параболоид - это поверхность второго порядка, а не то что ты имеешь ввиду.

 

Во второй части точка минимума при x=1/10. И тут не столько важны экстремумы, сколько расположение парабол. у левой вершина в 1/2, у правой - в 1/10.

Для начала заметим 2 вещи:

1). При a=0 мы получим не более двух решений. Значит, оно нам не интересно.

2). Если a=t входит в ответ, то и a=-t тоже входит.

Фиксируем a>0.

Теперь о 3-ех пересечениях. Посмотрим на картинку. Будем считать, что левая часть(обозначим ее за L(x)) ведет себя как x^4, а правая - как x^2(обозначим ее за R(x)). Заметим, что существует отрезок(на левой полуплоскости), на котором левая часть убывает быстрее. Обозначим этот отрезок за W. На картинке W=[-1;0].

Т.к. абсциссы вершин не совпадают, то наш случай сложнее. Учитывая, что вершина R(x) левее вершины L(x) (1/10 < 1/2), заметим, что если вершина R(x) принадлежит графику L(x) и абсцисса вершины(в нашем случае 1/10) принадлежит промежутку W, то пересечений также будет 3(за исключением случая, когда x - левый конец отрезка W). Решим L(1/10)=R(1/10). Учитывая фиксированное a>0, получим 2 положительных решения, относительно a(обозначим их t1 и t2). Теперь осталось проверить, что x=1/10 принадлежит нашему промежутку W.(при этом он не должен быть левым его концом, иначе мы получим только 2 решения). Т.е. R'(x)-L'(x) > 0 для x=1/10 и найденных a. В лоб посчитаем, убедимся, что это так. В ответе 4 решения: t1, t2, -t1, -t2.

В обшем-то да, я в конечном итоге нарисовал-таки возможный рисунок с вершиной именно в точке, где проходит график левой. Параметр 'а' влиял на расположение вершины правой параболы (уравнения в правой части) по отношению к графику левой(уравнение в левой части). Если правая лежала ниже графика левой, то получалось вплоть до 4х решений, если правая выше графика левой, то 2 решения, а если как раз таки вершина правой параболы лежит на графике левой, то получается, как раз 3 решения именно из того соображения, которое ты тут представил(т.е рост x^4 на отрезке от [-1;0] слабее чем x^2, и наоборот на остальной части отрицательной оси абсцисс). А за парабалоид - да, я имел в виду именно параболу.

Но я вот ещё подумал, что поидее должна быть ещё 1 точка, при которой происходит касание графика правой параболы (уравнения в левой части) с графиком левой(уравнения в правой части) если рассмотреть случай, когда вершина левой параболы ниже правой, при этом произойдёт неминуемое пересечение этих графиков в двух точках справа от оси симметрии (т.к вершина правой параболы правее собственно вершины левой). Ситуация наподобие этой

(это я произвольно просто нарисовал, что бы убедиться, что такое возможно)

  Zhenek написал 11.06.2013 в 06:11:

  Цитата

GodLike!' timestamp='1370924039' post='10927902']

  Zhenek написал 10.06.2013 в 16:01:

  marko_o написал 09.06.2013 в 22:43:

никому такое цэ5 не попадалось на егэ?

сложненькая задачка на первый взгляд. Кину пару идей которые мне пришли в голову. Сразу говорю, последний раз решал такого рода задачи года 4 назад поэтому если чё напутал, сори.

Левая часть - парабалоид с точкой минимума (0,5 ; (a^2+3/4)^2). Также это единственная точка минимума посему и парабалоид (2я производная всегда больше 0, 1я = 0 только в x=1/2). Правая же часть - парабалоид, опять же с усами, торчащими вверх, только начинается в вершине с координатами (0,5 ; 3,8*a^2). А вот чё с этим делать дальше я и сам чё-то не могу понять. Пытаюсь нарисовать с 3мя решениями но чё-то нихуя не выходит с 2мя-то параболами ... Уж очень хочется сказать, что ни при каких, но чё-то кажется, что не докажу ппц. Попробую подумать подольше.

 

  Показать содержимое

параболоид - это поверхность второго порядка, а не то что ты имеешь ввиду.

 

Во второй части точка минимума при x=1/10. И тут не столько важны экстремумы, сколько расположение парабол. у левой вершина в 1/2, у правой - в 1/10.

Для начала заметим 2 вещи:

1). При a=0 мы получим не более двух решений. Значит, оно нам не интересно.

2). Если a=t входит в ответ, то и a=-t тоже входит.

Фиксируем a>0.

Теперь о 3-ех пересечениях. Посмотрим на картинку. Будем считать, что левая часть(обозначим ее за L(x)) ведет себя как x^4, а правая - как x^2(обозначим ее за R(x)). Заметим, что существует отрезок(на левой полуплоскости), на котором левая часть убывает быстрее. Обозначим этот отрезок за W. На картинке W=[-1;0].

Т.к. абсциссы вершин не совпадают, то наш случай сложнее. Учитывая, что вершина R(x) левее вершины L(x) (1/10 < 1/2), заметим, что если вершина R(x) принадлежит графику L(x) и абсцисса вершины(в нашем случае 1/10) принадлежит промежутку W, то пересечений также будет 3(за исключением случая, когда x - левый конец отрезка W). Решим L(1/10)=R(1/10). Учитывая фиксированное a>0, получим 2 положительных решения, относительно a(обозначим их t1 и t2). Теперь осталось проверить, что x=1/10 принадлежит нашему промежутку W.(при этом он не должен быть левым его концом, иначе мы получим только 2 решения). Т.е. R'(x)-L'(x) > 0 для x=1/10 и найденных a. В лоб посчитаем, убедимся, что это так. В ответе 4 решения: t1, t2, -t1, -t2.

В обшем-то да, я в конечном итоге нарисовал-таки возможный рисунок с вершиной именно в точке, где проходит график левой. Параметр 'а' влиял на расположение вершины правой параболы (уравнения в правой части) по отношению к графику левой(уравнение в левой части). Если правая лежала ниже графика левой, то получалось вплоть до 4х решений, если правая выше графика левой, то 2 решения, а если как раз таки вершина правой параболы лежит на графике левой, то получается, как раз 3 решения именно из того соображения, которое ты тут представил(т.е рост x^4 на отрезке от [-1;0] слабее чем x^2, и наоборот на остальной части отрицательной оси абсцисс). А за парабалоид - да, я имел в виду именно параболу.

Но я вот ещё подумал, что поидее должна быть ещё 1 точка, при которой происходит касание графика правой параболы (уравнения в левой части) с графиком левой(уравнения в правой части) если рассмотреть случай, когда вершина левой параболы ниже правой, при этом произойдёт неминуемое пересечение этих графиков в двух точках справа от оси симметрии (т.к вершина правой параболы правее собственно вершины левой). Ситуация наподобие этой

(это я произвольно просто нарисовал, что бы убедиться, что такое возможно)