Задачи для моска

[Snezhok]

Решил собрать все задачки в кучу.

 

С вероятностью 1/2 в один из восьми ящиков стола (выбран случайно) положили письмо. Затем по

очереди открыли 7 ящиков - все пусты. Какова вероятность того, что в последнем ящике письмо?

 

answer

1/9.

С вероятностью 1/2 все ящики будут пустыми, открыть 7 из них можно 8 способами. Так же с вероятностью 1/2 в одном из ящиков будет письмо, но с точностью до перестановок, возможно

только 1 ситуация, когда 7 открыто и письма нет. Итого, осталось 9 ситуаций и только в одной из них будет обнаружено письмо.

 

 

 

Продавец на рынке продает шапку. Стоит 10 руб. Подходит покупатель, меряет и согласен взять. Но у него есть только 25 руб. Продавец отсылает мальчика с этими 25 руб. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5 руб. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб, а 10 руб. оставляет себе. Через некоторое время приходит соседка и говорит, что 25 руб. фальшивые, требует отдать ей деньги. Продавец возвращает ей деньги. На сколько обманули продавца?

 

answer

Продавец отдал шапку + 15 рублей хуйлану, 25 подруге - проебал 50 рублей, но 25 он получил от нее же, так что в сумме проебал 50-25=25 рублей. Можно считать что с ней он и не имел терок - получил 25, отдал 25. А проебал только шапку и 15р - в сумме те же 25.

 

 

 

Один эстрадный счетчик на своих сеансах делал публике следующее заманчивое предложение:

-Объявляю при свидетелях, что плачу 100 рублей каждому, кто даст мне 5 рублей двадцатью монетами - по 50, 20 и 5 коп. Сто рублей за пять! Кто желает?

Воцарялось молчание.

Публика погружалась в размышление. Карандаши бегали по листкам записных книжек,- но ответного предложения не поступало.

- Публика, я вижу, находит 5 рублей слишком высокой платой за 100 рублей. Извольте, я готов скинуть два рубля и назначаю пониженную цену: 3 рубля двадцатью монета­ми названного достоинства. Плачу 100 рублей за 3 рубля!

Желающие, составляйте очередь!

Но очередь не выстраивалась. Публика явно медлила воспользоваться редким случаем.

- Неужели и 3 рубля дорого? Хорошо, понижаю сум­му еще на рубль; уплатите указанными двадцатью монетами всего только 2 рубля, и я немедленно вручу предъя­вителю сто рублей.

Так как никто не выражал готовности совершить об­мен,  счетчик продолжал:

- Может быть, у вас нет при себе мелких денег? Не стесняйтесь этим, я поверю в долг. Дайте мне только на бумажке реестрик, сколько монет каждого достоинства вы обязуетесь доставить!

 

answer

Предположим, что уплата возможна и что для этого понадобилось х 50-копеечных, у 20-копеечных и z 5-копеечных монет. Имеем уравнение:

50x + 20y + 5z = 500.

Сократив  на 5,  получаем:                                                       

10x + 4x + z = 100.

Кроме  того,  так  как  общее  число  монет,  по  условию,  I равно 20, то г, у и г связаны еще и другим уравнением:

x + y + z = 20.

Вычтя это уравнение из первого, получаем:                             

9x + Зy = 80.                                     

Разделив на 3, приводим уравнение к виду!               

Зх + у = 26 2/3.                               

Но Зx, тройное число 50-копеечных монет, есть, конечно,  число целое.  Число 20-копеечных,  у, также целое.  Сумма же двух целых чисел не может оказаться числом дробным  (26 2/з). Наше предположение   о  разрешимости этой задачи приводит, как видите, к нелепости. Значит, задача неразрешима.

 

 

 

Пришли как-то к Великому Султану три мудреца. И попросили рассудить — кто из них самый мудрый.

Султан устроил им состязание. Он показал им 2 белых колпака и 3 черных. Потом посадил их в кружок и надел каждому один из этих пяти колпаков. Каждый видит других двоих, но своего колпака увидеть не может. Сидят молча, думают. Кто первый поймет, какой у него колпак — тот, значит, и самый мудрый. Если султан всем троим надел по черному колпаку, как один из мудрецов через некоторое время смог об этом догадаться?

 

answer

п.1. если мудрец видит что на обоих белвый колпак, то на нем точно черный так как белых всего 2

п.2. если мудрец видит что на одном белый колпак, а на другом - черный, то значит на нем тоже черный, иначе тот, который в черном колпаке увидел 2 белых, чразу бы угадал

п.3. если мудрец видит что на обоих черный колпак, значит на нем тоже черный, потому что иначе другие мудрецы подумали бы как в п.2.

 

 

 

Ученые-практики решилипровести очередной эксперимент - собрали ученых-теоретиков и сказали: "через 5 минут мы наденем вам на головы колпаки и выстроим в очередь так, что каждый сможет видеть всех тех, стоит впереди, и не сможет видеть тех, кто позади и начнем с конца спрашивать каждого из вас о цвете его колпака. Кто не правильно ответит - тому голова с плеч". Ученые теоретики знают что колпаки только двух цветов. О чем им следует договориться, чтобы свести потери в своих рядах к минимуму?

 

answer

Cамый задний ученый считает количество белых колпаков, и если их четное количество говорит белый, если енчетно - черный

после этого каждый стоящий перед ним посчитав количество белых колпаков перед ним и запомнив количество сказанных "белый" за нам, может догадаться, белый ли на нем колпак или нет.

 

 

 

answer2

В общем случаи задача решается с помощью суммы по модулю n, где n - количество цветов колпаков.

 

 

 

— Сколько лет, сколько зим! — воскликнул Гарунский, встретив на улице своего старинного студенческого приятеля Казимирова. — Как поживаешь?

— Нормально, — ответил тот. — Знаешь, а у меня уже три дочери, — с гордостью в голосе добавил Казимиров.

— Ну ты даёшь. И сколько же им лет?

— Могу сказать, что произведение их возрастов равно 36 (время не изменило этого любимца группы и самого большого остроумца на факультете), а сумма — номеру дома, возле которого мы стоим.

Гарунский поднял голову, посмотрел на номер дома и удивлённо заметил:

— Но этого недостаточно, чтобы определить возраст твоих дочерей.

— А вон, кстати, идёт моя старшая, Катя, — воскликнул Казимиров. — Извини, мы очень спешим. — И с этими словами он быстро удалился, оставив Гарунского в полном недоумении.

Сколько же лет каждой из дочерей этого оригинала по фамилии Казимиров?

 

answer

9,2,2.

Потому что есть всего две тройки с одинаковой суммой (9,2,2) и (6, 6, 1). Но из условия известно, что есть единственная старшая дочь.

 

 

 

Играют двое в игру: кладут на круглый стол круглые монеты. Ходят по очереди, за каждый ход один из игроков кладет одну монету на свободное от положенных ранее монет место стола. Проигрывает тот, кому некуда положить монету. Кто побеждает при правильной игре и какова выигрышная стратегия?

 

answer

Тот кто ходит первым - кладет моенту в центр стола, и потом отвечает на все ходы противника абссолютно симметрично относительно центра.

 

 

 

Есть 13 шариков. 12 одинаковых по весу, один не одинаковый. Нужно определить за минимальное число взвешиваний который.

 

answer

1ое взвешивание.

4 - 4 монеты

3 варианта показания весов.

1а) =, тогда фальш в 3 оставшихся. 2ое взвешивание => берем 3 монеты которые 100% настоящие и кладём их на правую чашу и 3 из пяти подозрительных монет.

3 варианта показания

2а1) =, тогда фальш в оставшихся 2ух => берем 1 проверенную монету, и взвешиваем если = то фальшь последняя. Если >< то та что взяли

2а2) > фаль в этих трёх и мы знаем БОЛЬШЕ она весит или МЕНЬШЕ (потому что справа на весах настоящие монеты) => взвешиваем 2 монеты из этих 3ёх. Если > то в слева фальш, если = то оставшаяся.

2а3) < - аналогично но она весит меньше значит.

Это было просто.

Терь начинается интереснее.

1бв) Весы скорее всего покажут > или <  (запоминаем ЧТО ПОКАЗАЛИ ВЕСЫ)

2б)  Берем 3+2 (2 слева к примеру 3 справа НЕ ПЕРЕМЕШИВАЯ МОНЕТЫ, что бы после взвешивания мы могли сказать вот эти 2 были справа раньше а эти слева) и 5ть 100% настоящих.

3 варианта.

1) = если равно, то фальш в 3ёх оставшихся, берем 2 с одной половины взвешиваем и смотрим результат. (лень расписывать но там уже просто)

2) > то фальш в зависимости от того, что показали весы или в 2ух монетах или в 3ёх и мы знаем больше она весит или меньше, определить не сложно у нас ещё 1 взвешивание.

3) < аналогично.

 

 

 

У пацанчика есть байк с пустым баком вместительностью 20 л и есть три канистры по 100 л каждая.

На байк можно присобачить 1 канистру. Как далеко он сможет уехать, если на 1 км расходуется 1 л?

 

answer

172 км.

Чтобы проехать х км с двуми канистрами, тратим 3*х бензина, с тремя - 5*х. Значит надо проехать максимальное количество км с двумя канистрами. Начинаем с конца, в конце остается 120 литров (максимальное количество км без возвращений), едем 20 км, получаем 180 литров, вмешается в 2 канистры - все ок.

Пробуем еще 20, получаем 240, те 3 канистры. Легко доказать, что и в этом случае мы проедем 20 км затратив 60 литров.

Оставшиеся 60 литров делим на 5 (тк придется возить 3 канистры) и получаем 12 км.

 

 

 

Садовник купил 53 упаковки средства, отпугивающего яблочную плодожорку. Средство начинает работать через три дня после нанесения на дерево. Однако, он узнал, что одна из упаковок бракованная, и отпугивает еще и фруктовую опылялку, без которой яблок не будет. Садовник не может рисковать своим садом, но у него есть шесть диких яблонь, на которых он может проверить репелленты. Но через шесть дней у яблочной плодожорки начинается жор, и мало что останется от его сада, если он его не обработает. Как ему найти бракованное средство и спасти свой урожай?

 

answer

Самый простой вариант, это номер каждой пачки перевести в двоичное представление. Таким образом получим шестизначное двоичное число. Дальнейшие рассуждения тривиальны.

 

 

 

Мкад подрезали до 100 км, расставили по всей дороге канистры различной емкости, но в сумме во всех канистрах 100 литров. Сможет ли пацанчик, пропатчивший бак своего байка до объема 100 проехать весь мкад, начав с какой-то из точек на его выбор? изначально бак пустой.

 

answer

Для начала ответ: да

Решение: Считаем, что за 1л он может проехать 1км. Рассмотрим обход круга по часовой стрелке.

Лемма.

Всегда найдется такая канистра, количество литров достаточно для проезда до следующей канистры по часовой стрелке.

Док-во леммы: от противного - пусть каждой канистры не хватает для проезда, суммируем весь круг. Тогда сумма литров в канистрах меньше 100, получаем противоречие.

Теперь док-во задачи:

Рассмотрим точки А и А1, расстояние между ними B, причем B<A(по лемме такие точки найдутся). Тогда делаем такую операцию: "отрезаем" от мкада расстояние B (точки А и А1 при этом совпадут), а кол-во литров в точке А1 меняем на (А-B)+A1. Таким образом суммы совпадут и будут равны 100-B( литров, км). Далее опять применяем лемму и находим еще таких 2 точки. В итоге получаем 2 точки, для которых по часовой стрелке можно проехать от одной к другой по часовой стрелке, а так как суммы литров/километров равны, то можно доехать и весь круг.  Начало движение таким образом нужно начинать из любой точки по лемме.

 

 

 

Найти три натуральных числа, сумма которых, а также сумма любых двух из которых являются квадратом натурального числа.

 

answer

если можно использовать 0, то первые ответы: 0, 9, 16; 0, 36, 64

если можно использовать 0 и одинаковые числа то первый ответ: 0, 0, 0

если можно использовать одинаковые числа (ноль нельзя) , то первый ответ: 17, 32, 32

 

 

 

Двое играют в следующую игру. На столе в ряд выложено чётное число карточек с числами. Игроки по очереди берут одну из карточек с любого из концов ряда. Выигравший должен набрать большую сумму, иначе ничья. Кто не проигрывает в этой игре? Какова не проигрышная стратегия?

 

answer

Разбиваем все карточки на карточки с четными номерами и с нечётными.

Пусть сумма всех цифр с карточек с четными номерами больше аналогичной с нечётными,

тогда первый игрок должен всегда брать карточки с четными номерами и тем самым выйграет

 

 

 

В волшебной стране жили мужественные рыцари, свирепые драконы и прекрасные принцессы. Рыцари убивают драконов, Драконы съедают принцесс, а принцессы изводят до смерти рыцарей. Всего было 100 рыцарей, 99 принцесс и 101 дракон. Древнее заклинание наложенное на всех запрещает убивать тех, кто погубил нечетное число жертв. В настоящее время в этой стране остался всего 1 житель. Кто это?

 

answer

Это дракон.

Если остался один дракон, то умерло 100 рыцарей, 99 принцесс и 100 драконов. Каждый рыцарь убил четное число драконов, драконов умерло четное число. Каждая принцесса убила четное число рыцарей, 99 четных чисел в сумме дают четное, все ок. Каждый умерший дракон убил четное число принцесс, но еще остался живой дракон, который убил нечетное кол-во принцесс - ок.

Если бы остался рыцарь, то умерло бы 99 рыцарей, 99 принцесс, 101 дракон. Каждый умерший рыцарь убил четное число драконов, 99 четных дают четное, плюс остался живой рыцарь - ок. Каждая умершая принцесса убила четное число рыцарей, но умерло нечетное число рыцарей - противоречие.

Если бы осталась принцесса, то умерло бы 100 рыцарей, 98 принцесс, 101 дракон. Каждый умерший рыцарь убил четное число драконов, но драконов умерло нечетное число - противоречие.

 

 

 

Ученые-практики никак не угомонятся - на этот раз они пригласили всего двух ученых-теоретиков, посадили напротив друг друга, надели им на головы по колпаку и сказали, что нарисуют на каждом колпаке число от 1 до 100, так чтобы каждый видел число, сидящего напротив, причем на одном из колпаков число на 1 больше чем на другом. Затем исполнили эту угрозу и сообщили, что будут задавать теоретикам по очереди вопрос: "Какое число на твоем колпаке?" ровно 216 раз, или до тех пор пока один из теоретиков не ответит правильно. Если ответить неправильно - придется дальше участвовать в жутких экспериментах. Как поступить ученым-теоретикам? Совещаться нельзя, подглядывать нельзя. Нужно назвать точное число на своем колпаке.

 

answer

если один видит на чужом колпаке 100 или 0 - значит на его - 99 или 1

если нет - молчит

второй видит что первый молчит, и понимает что на его колпаке не 100 и не 0

потом круг сужается до 98 и 2

97 и 3

и тд

 

 

 

Учёные-практики затеяли новый эксперимент: на этот раз им понадобилось 4 учёных-теоретика, которых они пронумеровали от 1 до 4 сообщили, что будут по одному заводить в комнату, где на стене табло из четырёх чёрных квадратиков, как в "поле чудес". На скрытой стороне каждого квадратика цифра 1, 2, 3 или 4. Зашедший в комнату, может открыть две цифры, сразу, или по очереди, после чего выходит через другую дверь и уже не видит коллег до окончания эксперимента. Перед тем как запустить в комнату второго, табло приводят в первоначальное положение. Учёных-теоретиков отпустят по своим делам только в том случае, если каждый из них найдет на табло свою цифру. Но у них есть пять минут на совещание... О чем следует договориться учёным-теоретикам, чтобы увеличить шансы на свободу, и каковы будут эти шансы?

 

answer

Первый открывает первую, если там не 1, то открывает тот, который там.

Второй открывает вторую, а потом ту, которая там..

Третий - сначала ячейку номер 3!!! Потом.. по той же схеме.

Тут расчёт, что если пропрёт первому (а тока на это и можно надеется по условию задачи), то остальные наверняка смогут открыть свои ячейки. Сложно объяснять в общем виде, но я прав это 99%

Примерчеги цифры расположены в порядке 3 4 1 2.

В этом случае 1й откроет сначала 3, потом третью ячейку, там 1.

2й сначала 4 в "своей", потом найдет 2, и т.д. вопщем все найдут свои номера (ячейки 1 и 3 "указывают" друг на друга типа ссылки, 4 и 2 тож друг на друга)

Короче, если кто-то не понял, как расчитывается вероятность, перебирайте вариантики, их всего 24.

 

 

 

В вершинах равностороннего треугольника со стороной 200 метров сидит по собаке. По команде "Старт!" каждая из них начинает гнаться за своей соседкой слева со скоростью 200 метров в минуту. Каждая собака бежит точно в направлении текущего положения своей (тоже, разумеется, бегущей) цели. Поэтому их траектории представляют некие сходящиеся спирали. Через какое время все собаки сойдутся (вернее, сбегутся) в центре?

 

answer

(1/2 / cos30) / cos30

 

 

 

Мужчина знает, что в километре от него пролегает прямая дорога (бесконечная прямая), но мужык не знает где именно. Каким наикратчайшим путем он должен пойти, чтобы заведомо и наверняка попасть на дорогу пройдя этот самый путь.

(нет ответ не 2*pi+1 километров)

 

answer

Проведем радиус ОА (О-центр, А-точка окружности), построим к точке А касательную. Идем под углом пи/6 к радиусу до касательной, далее идем по касательной к окружности (не к точке А, а в другую сторону). Далее идем 7пи/6 по окружности. И параллельно ОА до касательной.

 

 

 

N киллеров совместно купили СВД (снайперская винтовка Драгунова). Винтовка крепится к петле на стене в гараже. У каждого из собственников есть по замку(с ключём), так что каждый из них может пользоваться винтовкой в любое время. Но вот беда: ведь если кто-то из них решит спереть винтовку, то не удастся узнать, кто же присвоил ее себе. Как им поступить, чтобы для каждого сохранилась возможность независимо от других использовать оружие, но все знали, кто его взял?

Не решена

 

 

Двое играют в игру: на клетчатой доске размера Х на У стоят шашки. По одной на каждой клетке. Ходят по очереди. За ход игрок должен выбрать одну из шашек и снять с доски ее и все шашки, расположенные выше и правее нее. Проигрывает тот кто возьмет левую нижнюю шашку.

Кто при правильной игре побеждает?

Не решена

 

 

[Vizakenjack]

первый нах

 

[pwned]

разгадал только про шарики 

[Vova]

Мкад подрезали до 100 км, расставили по всей дороге канистры различной емкости, но в сумме во всех канистрах 100 литров. Сможет ли пацанчик, пропатчивший бак своего байка до объема 100 проехать весь мкад, начав с какой-то из точек на его выбор? изначально бак пустой.

 

решение по индукции

при добавлении еще одной канистры с емкостью Х вырезаем весь мкад перед ней на Х

останеться дорога с канистрами общим объемом 100-Х и длиной 100-Х

при этом некоторые канистры могут оказаться в зоне урезания (назовем их неправельными)

на этой урезанной дороге мы умеем выбирать стартовую точку - ее же выберем и для старта

на первоначальной не урезанной дороге ,но если на урезанной дороге стартовая точка совпала с неправельной канистрой (она на урезанной дороге одна) то для полной дороги стартуем с той канистры которую мы добавили в самом начале

 

Садовник купил 53 упаковки средства, отпугивающего яблочную плодожорку. Средство начинает работать через три дня после нанесения на дерево. Однако, он узнал, что одна из упаковок бракованная, и отпугивает еще и фруктовую опылялку, без которой яблок не будет. Садовник не может рисковать своим садом, но у него есть шесть диких яблонь, на которых он может проверить репелленты. Но через шесть дней у яблочной плодожорки начинается жор, и мало что останется от его сада, если он его не обработает. Как ему найти бракованное средство и спасти свой урожай?

 

решение

64>53

различных комбинаций из 6ти деревьев 64

[fake]

  Цитата

решение по индукции

при добавлении еще одной канистры с емкостью Х вырезаем весь мкад перед ней на Х

останеться дорога с канистрами общим объемом 100-Х и длиной 100-Х

при этом некоторые канистры могут оказаться в зоне урезания (назовем их неправельными)

на этой урезанной дороге мы умеем выбирать стартовую точку - ее же выберем и для старта

на первоначальной не урезанной дороге ,но если на урезанной дороге стартовая точка совпала с неправельной канистрой (она на урезанной дороге одна) то для полной дороги стартуем с той канистры которую мы добавили в самом начале

 

тебе над ясностью изъяснения поработать имхо стоит =)

 

не понятно откуда возьмется неправильная канистра на урезанной дороге, если она может оказаться только в зоне урезания. И куда мы вообще добавляем еще одну канистру емкостью Х?!

 

  Цитата

Ученые-практики решилипровести очередной эксперимент - собрали ученых-теоретиков и сказали: "через 5 минут мы наденем вам на головы колпаки и выстроим в очередь так, что каждый сможет видеть всех тех, стоит впереди, и не сможет видеть тех, кто позади и начнем с конца спрашивать каждого из вас о цвете его колпака. Кто не правильно ответит - тому голова с плеч". Ученые теоретики знают что колпаки только двух цветов. О чем им следует договориться, чтобы свести потери в своих рядах к минимуму?

 

еще вот эту для случая колпаков более двух цветов не решили

 

Вот еще одна простенькая:

 

Найти три натуральных числа, сумма которых, а также сумма любых двух из которых являются квадратом натурального числа.

[notforyou]

без использования нуля найти 3 таких числа невозможно

[notforyou]

a+b+c=z*z

a+b=y*y

b+c=z*z

a+c=h*h

c=z*z-b

c=h*h-a=z*z-b=z*z-b-a

помоему очевидно

[Snezhok]

  Цитата

без использования нуля найти 3 таких числа невозможно

Возможно. Например, (32,32,17).

 

  Цитата

a+b+c=z*z

a+b=y*y

b+c=z*z

a+c=h*h

c=z*z-b

c=h*h-a=z*z-b=z*z-b-a

помоему очевидно

Показать больше  

В 1 строчке должно быть a+b+c=x*x, тогда в 6 будет c=h*h-a=z*z-b=x*x-b-a.

[XpoHuK]

  Цитата

С вероятностью 1/2 в один из восьми ящиков стола (выбран случайно) положили письмо. Затем по

очереди открыли 7 ящиков - все пусты. Какова вероятность того, что в последнем ящике письмо?

 

answer

1/9.

С вероятностью 1/2 все ящики будут пустыми, открыть 7 из них можно 8 способами. Так же с вероятностью 1/2 в одном из ящиков будет письмо, но с точностью до перестановок, возможно

только 1 ситуация, когда 7 открыто и письма нет. Итого, осталось 9 ситуаций и только в одной из них будет обнаружено письмо.

 

лол ответ неправильный

[fake]

  Цитата

  Цитата

без использования нуля найти 3 таких числа невозможно

Возможно. Например, (32,32,17).

 

а как ты докажешь, что не использовал ноль, когда искал эти числа? 

[Snezhok]

  Цитата

лол ответ неправильный

Почему? Напиши правильное решение.

 

  Цитата

а как ты докажешь, что не использовал ноль, когда искал эти числа? 

Зачем мне использовать ноль?

[XpoHuK]

  Цитата

Найти три натуральных числа, сумма которых, а также сумма любых двух из которых являются квадратом натурального числа.

первое - ноль, остальные ИЩИ 

 

 

[XpoHuK]

  Цитата

  Цитата

лол ответ неправильный

Почему? Напиши правильное решение.

 

а чо писать то, все очевидно: т.к. письмо положили в стол с вероятностью 50%, то независимо от количества ящиков в столе (n), если мы открыли все кроме одного (n-1), то в последнем ящике (1) письмо окажется с той вероятностью, с которой оно вообще может находится в столе, т.е. 50%.

[liga]

ноль какбэ не натуральное число

[Snezhok]

  Цитата

ноль какбэ не натуральное число

Это спорный вопрос.

[XpoHuK]

  Цитата

ноль какбэ не натуральное число

иди алгебру учи, школьник 

[liga]

существует 2 подхода в математике, когда ноль включен в натуральные и когда нет

в русской школьной программе ноль не принадлежит к натуральным числам

так что не пизди

[Snezhok]

  Цитата

иди алгебру учи, школьник 

Хочется сказать иди теорвер учи, но не буду.

[XpoHuK]

  Цитата

существует 2 подхода в математике, когда ноль включен в натуральные и когда нет

в русской школьной программе ноль не принадлежит к натуральным числам

так что не пизди

ну вот школьник-же, как я и подозревал 

[XpoHuK]

  Цитата

  Цитата

иди алгебру учи, школьник 

Хочется сказать иди теорвер учи, но не буду.

лол. иди учи.