1/2 vs 2/3

ЗАДАЧА О КОРОБКАХ И ШАРАХ: АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ АСИММЕТРИИ НА ВЕРОЯТНОСТЬ
========================================================================

ЧАСТЬ 1: КЛАССИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА (ПАРАДОКС БЕРТРАНА)
------------------------------------------------------------------------

Исходные условия:
- Коробка 1: два золотых шара   (Г, Г)
- Коробка 2: два серебряных шара (С, С)
- Коробка 3: один золотой, один серебряный (Г, С)

Эксперимент:
1. Случайно выбираем одну коробку (вероятность 1/3 для каждой)
2. Случайно вынимаем из неё один шар
3. Видим, что этот шар — золотой (Г)

Вопрос:
Какова вероятность, что второй шар в этой же коробке тоже золотой?

--------------------------------------------------------------------
ШАГ 1.1: Перечисление всех элементарных исходов (до наблюдения цвета)
--------------------------------------------------------------------
Обозначим шары: в каждой коробке шар1 и шар2 (порядок не важен, но для счёта удобно).

Всего 6 равновероятных исходов (коробка, какой шар вынут первый):

1. К1: вынут шар1 (Г), остался шар2 (Г)
2. К1: вынут шар2 (Г), остался шар1 (Г)
3. К2: вынут шар1 (С), остался шар2 (С)
4. К2: вынут шар2 (С), остался шар1 (С)
5. К3: вынут золотой шар (Г), остался серебряный (С)
6. К3: вынут серебряный шар (С), остался золотой (Г)

--------------------------------------------------------------------
ШАГ 1.2: Условная вероятность после наблюдения золотого шара
--------------------------------------------------------------------
Событие A = "первый шар золотой" (исходы 1, 2, 5)

Событие B = "второй шар золотой" (исходы 1, 2, 6)

Нам нужно P(B|A) = P(A и B) / P(A)

Исходы, где A и B оба истинны: 1 и 2 (оба из К1).

P(A и B) = 2/6 = 1/3
P(A) = 3/6 = 1/2

Итого:
P(B|A) = (1/3) / (1/2) = 2/3.

Классический ответ: 2/3.

=======================================================================

ЧАСТЬ 2: МОДИФИКАЦИЯ С НЕЗАВИСИМОЙ СЛУЧАЙНОЙ ПОКРАСКОЙ
------------------------------------------------------------------------

Новое условие:
Все шары независимо перекрашиваем:
- С вероятностью 1/2 шар становится внешне золотым (Гв)
- С вероятностью 1/2 шар становится внешне серебряным (Св)
Натуральный (исходный) цвет остаётся неизменным внутри.

После покраски внешне все шары выглядят либо Гв, либо Св независимо от их истинного материала.

Эксперимент тот же:
1. Случайно выбираем коробку (1/3)
2. Случайно вынимаем шар
3. Видим его внешний цвет — пусть Гв (золотой внешне)

Вопросы:
а) Какова вероятность, что второй шар внешне тоже Гв?
б) Какова вероятность, что второй шар натурально золотой (Г)?

--------------------------------------------------------------------
ШАГ 2.1: Независимость внешнего цвета от коробки и от другого шара
--------------------------------------------------------------------
Для каждого шара P(Гв) = 1/2, P(Св) = 1/2 независимо от всего.

Поэтому:
- P(первый шар внешне Гв | любая коробка) = 1/2
- P(второй шар внешне Гв | любая коробка) = 1/2
- P(оба внешне Гв | любая коробка) = (1/2)*(1/2) = 1/4

--------------------------------------------------------------------
ШАГ 2.2: Вероятность P(первый внешне Гв)
--------------------------------------------------------------------
P(первый внешне Гв) = 1/2 (симметрия: половина шаров в среднем золотые внешне)

--------------------------------------------------------------------
ШАГ 2.3: Вероятность того, что второй внешне Гв при условии, что первый Гв
--------------------------------------------------------------------
По формуле условной вероятности:

P(второй Гв | первый Гв) = P(оба Гв) / P(первый Гв)

P(оба Гв) = (1/3)*1/4 + (1/3)*1/4 + (1/3)*1/4 = 1/4

Итак: P(второй Гв | первый Гв) = (1/4) / (1/2) = 1/2.

--------------------------------------------------------------------
ШАГ 2.4: Вероятность того, что второй шар натурально Г при условии, что первый внешне Гв
--------------------------------------------------------------------
Натуральный цвет второго шара зависит только от коробки:
- К1: всегда Г (вероятность 1)
- К2: всегда С (вероятность 0)
- К3: с вероятностью 1/2 (один из двух шаров натурально Г)

Безусловная P(второй натурально Г) = (1/3)*1 + (1/3)*0 + (1/3)*(1/2) = 1/2

Так как внешний цвет первого шара независим от натурального цвета второго,
P(второй натурально Г | первый внешне Гв) = P(второй натурально Г) = 1/2.

--------------------------------------------------------------------
ВЫВОД ПО ЧАСТИ 2:
После независимой покраски наблюдение внешнего цвета первого шара НЕ ДАЁТ
информации ни о внешнем цвете второго шара, ни о его натуральном цвете.
Оба ответа = 1/2.

=======================================================================

ЧАСТЬ 3: ПОЧЕМУ В КЛАССИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ ПОЛУЧАЕТСЯ 2/3?
------------------------------------------------------------------------
Ключ — в асимметрии распределения золотых шаров по коробкам.

--------------------------------------------------------------------
ШАГ 3.1: Подсчёт золотых выборов
--------------------------------------------------------------------
В классической задаче:
- К1 содержит 2 золотых шара ⇒ 2 "золотых выбора"
- К2 содержит 0 золотых шаров ⇒ 0 "золотых выборов"
- К3 содержит 1 золотой шар ⇒ 1 "золотой выбор"

Всего золотых выборов: 3 (из 6 возможных).

Среди этих 3 золотых выборов:
- 2 ведут к тому, что второй шар тоже золотой (оба из К1)
- 1 ведёт к тому, что второй серебряный (из К3)

Отсюда 2/3.

--------------------------------------------------------------------
ШАГ 3.2: Что если сделать симметричное распределение?
--------------------------------------------------------------------
Рассмотрим симметричный вариант:

Коробки:
1. Г Г
2. С С
3. Г С
4. С Г   ← добавили четвёртую, зеркальную третьей

Всего коробок 4, выбираем случайно (вероятность 1/4).

Золотых шаров всего: 
К1 — 2, К3 — 1, К4 — 1. Итого 4 золотых шара на 8 шаров.

Все элементарные исходы (выбор коробки и шара) — 8 равновероятных.

"Золотых выборов" 4:
- К1: 2 варианта
- К3: 1 вариант
- К4: 1 вариант

Из этих 4 золотых выборов второй шар золотой только в К1 (2 варианта).

Вероятность = 2/4 = 1/2.

--------------------------------------------------------------------
ШАГ 3.3: Анализ разницы
--------------------------------------------------------------------
В симметричном случае:
Количество золотых шаров в монохромной золотой коробке = 2
Количество золотых шаров в смешанных коробках = 1+1 = 2

Соотношение золотых выборов из монохромной золотой к общему числу золотых выборов = 2/4 = 1/2.

В классической (асимметричной) задаче:
Золотых шаров в монохромной золотой = 2
Золотых шаров в смешанной = 1

Соотношение = 2/(2+1) = 2/3.

=======================================================================

ЧАСТЬ 4: ФОРМАЛЬНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРЖДЕНИЯ
------------------------------------------------------------------------
Утверждение: 
Вероятность 2/3 в классической задаче возникает исключительно из-за асимметрии
в количестве золотых шаров между коробками (одна коробка имеет 2 золотых, другая смешанная — 1).

--------------------------------------------------------------------
ШАГ 4.1: Общая модель
--------------------------------------------------------------------
Пусть имеется N коробок.
Коробка i содержит Gi золотых и Si серебряных шаров (Gi + Si = 2).
Выбираем случайную коробку равновероятно, затем случайный шар из неё.
Условие: вынутый шар золотой.

Вероятность P(второй шар золотой | первый золотой) = ?

--------------------------------------------------------------------
ШАГ 4.2: Формула
--------------------------------------------------------------------
Пусть событие Ai = "выбрана коробка i".
P(Ai) = 1/N.
P(первый Г | Ai) = Gi / 2.
P(оба Г | Ai) = (Gi/2) * ((Gi-1)/1) = Gi(Gi-1) / 2   (при Gi ≥ 1).

P(первый Г) = (1/N) * Σ (Gi/2) = (1/(2N)) * Σ Gi.
P(первый и второй Г) = (1/N) * Σ [Gi(Gi-1)/2] = (1/(2N)) * Σ Gi(Gi-1).

Тогда:
P(второй Г | первый Г) = [Σ Gi(Gi-1)] / [Σ Gi].

--------------------------------------------------------------------
ШАГ 4.3: Применение к классическому случаю
--------------------------------------------------------------------
Коробки: (2,0), (0,2), (1,1)
Σ Gi = 2 + 0 + 1 = 3
Σ Gi(Gi-1) = 2*1 + 0 + 0 = 2

Вероятность = 2/3.

--------------------------------------------------------------------
ШАГ 4.4: Условие для получения 1/2
--------------------------------------------------------------------
Чтобы вероятность была 1/2, нужно:
[Σ Gi(Gi-1)] / [Σ Gi] = 1/2
=> 2 Σ Gi(Gi-1) = Σ Gi
=> Σ (2Gi² - 2Gi - Gi) = 0
=> Σ (2Gi² - 3Gi) = 0

В симметричном примере с 4 коробками:
Gi: 2, 0, 1, 1
Σ Gi = 4
Σ Gi(Gi-1) = 2 + 0 + 0 + 0 = 2
Вероятность = 2/4 = 1/2 (удовлетворяет).

Это происходит, когда суммарное число золотых шаров в монохромных золотых коробках
равно суммарному числу золотых шаров в смешанных коробках.

--------------------------------------------------------------------
ШАГ 4.5: Критическая асимметрия классической задачи
--------------------------------------------------------------------
В классической задаче:
- Монохромная золотая коробка: 2 золотых шара
- Смешанная коробка: 1 золотой шар

Отношение = 2:1 в пользу монохромной по золотым выборам.
Если добавить вторую смешанную коробку с 1 золотым, отношение становится 2:2 = 1:1 → вероятность 1/2.

=======================================================================

ЧАСТЬ 5: ИТОГОВОЕ ЗАКЛЮЧЕНИЕ
------------------------------------------------------------------------
1. В классической задаче парадокса Бертрана вероятность 2/3 возникает
   не как следствие общих байесовских принципов, а как прямое следствие
   конкретной асимметричной структуры набора коробок:

   • Две коробки содержат шары одного цвета (монохромные)
   • Одна коробка содержит шары разного цвета (смешанная)

   Именно эта конфигурация «2 монохромные + 1 смешанная» создаёт
   дисбаланс в распределении золотых шаров.

2. Количественная суть асимметрии:
   • В монохромной золотой коробке — 2 золотых шара
   • В смешанной коробке — 1 золотой шар
   Это приводит к соотношению 2:1 в пользу монохромной коробки среди
   всех возможных «золотых выборов».

3. Универсальность результата:
   Значение 2/3 не является универсальным свойством для любых задач,
   где наблюдается цвет шара и делается вывод о втором шаре.
   Оно жёстко привязано к указанной асимметрии.
   Нарушение этой структуры (добавление второй смешанной коробки или
   изменение числа золотых шаров) меняет вероятность с 2/3 на 1/2.

4. Роль байесовского расчёта:
   Формула Байеса лишь формально вычисляет вероятность, но не объясняет
   причину появления именно 2/3. Причина лежит исключительно в структуре
   распределения шаров по коробкам.

5. Эксперимент с независимой покраской подтверждает:
   Если убрать жёсткую связь цветов внутри коробки (сделать внешние цвета
   независимыми), наблюдение первого шара перестаёт нести информацию
   о втором — вероятность становится 1/2 независимо от структуры коробок.
   Это доказывает, что исходная вероятность 2/3 полностью обусловлена
   именно внутренней корреляцией цветов внутри коробок в исходной задаче.

ВЕРДИКТ:
Вероятность 2/3 в классической задаче о коробках и шарах возникает
исключительно из-за асимметрии в количестве золотых шаров между коробками,
которая, в свою очередь, является прямым следствием конфигурации
«две монохромные коробки и одна разноцветная».

Данное значение не является универсальным свойством байесовского вывода
или общей закономерностью для подобных задач — оно есть специфическое
свойство именно этой асимметричной структуры. Любое изменение,
нарушающее дисбаланс в распределении золотых шаров между монохромной
и смешанной коробками, изменяет вероятность с 2/3 на иное значение.

Таким образом, 2/3 — это не функция от «золотой шар чаще из золотой коробки»,
а функция от конкретного соотношения: 2 золотых шара в монохромной против
1 золотого в смешанной коробке при наличии ровно одной смешанной коробки
и двух монохромных.
========================================================================